Calcule a integral.

∫ 1 - 4 x 2 d x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A primeira vista resolver essa integração parece impossível, mas devo lhe informar que não é.

Para integrais com essa configuração, temos uma substituição super adequada e que irei lhe mostrar aqui:

Chamamos de substituição trigonométrica, e nos ajuda BASTANTE.

Passo 2

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

A gente tem que 2 x = sen ⁡ θ , e θ varia no intervalo - π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Assim, x = 1 2 sen ⁡ θ , e se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = 1 2 cos ⁡ θ d θ .

Agora, achando o valor do nosso cateto 1 - 4 x 2 por meio da substituição de x , temos:

1 - 4 x 2 = 1 - ( 2 x ) ² = cos ⁡ θ

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

∫ 1 - 4 x 2 d x = ∫ cos ⁡ θ 1 2 cos ⁡ θ d θ

= 1 4 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ

= 1 4 θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ + C

Agora voltando para a variável original:

= 1 4 sen - 1 ⁡ 2 x + 2 x 1 - 4 x 2 + C    

Resposta

1 4 sen - 1 ⁡ 2 x + 2 x 1 - 4 x 2 + C     .

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