Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 7.1 - Ex. 22

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Calcule a integral.

∫ 4 9 ln ⁡ y y d y

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando a técnica de integração por partes. Relembrando, temos que

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Antes de aplicarmos a técnica, vamos reescrever a integral:

∫ 4 9 ln ⁡ y y d y = ∫ 4 9 ln ⁡ y   y - 1 / 2   d y

Identificando u = ln ⁡ y ⇒ d u = d y / y e d v = y - 1 / 2   d y ⇒ v = 2 y 1 / 2 . Assim, a integral fica

∫ 4 9 ln ⁡ y y d y = 2 y ln ⁡ y 4 9 - 2 ∫ 4 9 y 1 / 2 y d y

Passo 2

Assim, temos que

∫ 4 9 ln ⁡ y y d y = 6 ln ⁡ 9 - 2 ln ⁡ 4 - 2 ∫ 4 9 y - 1 / 2   d y

Passo 3

Calculando a última primitiva:

∫ 4 9 ln ⁡ y y d y = 6 ln ⁡ 9 - 2 ln ⁡ 4 - 4   y 4 9 = 6 ln ⁡ 9 - 2 ln ⁡ 4 - 4 3 - 2 = 6 ln ⁡ 9 - 2 ln ⁡ 4 - 4

Resposta

6 ln ⁡ 9 - 2 ln ⁡ 4 - 4

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