Calcule a integral

∫ x 3 ⋅ e x 2 d x  

Passo 1

Para calcular essa integral iremos o método da substituição simples além de utilizar, também, o método de integração por partes que nos diz o seguinte

∫ k   d v = k ⋅ v - ∫ v   d k

Passo 2

∫ x 3 ⋅ e x 2 d x  

Fazendo a seguinte substituição u = x 2 → d u d x = 2 x → d u 2 = x   d x   podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ x 2 ⋅ e x 2 ⋅ x   d x   =

∫ u ⋅ e u 2   d u =

1 2 ⋅ ∫ u ⋅ e u d u

Para utilizarmos a integração por partes devemos escolher uma das funções para integrarmos e uma da função para derivarmos, para facilitar as contas vamos escolher

k = u → d k = 1 d v = e u → v = e u

Dessa forma, vamos ter

1 2 ⋅ ∫ u ⋅ e u   d u =

1 2 ⋅ u ⋅ e u - ∫ e u d u = 1 2 ⋅ u ⋅ e u - e u   =

e u 2 ⋅ u - 1 + C

Mas u = x 2 , então,

e x 2 2 ⋅ x 2 - 1 + C

Resposta

e x 2 2 ⋅ x 2 - 1 + C

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