Resolva o problema de valor inicial:

d^3r/dt^3 = -cost

r''(0) = r'(0) = 0, r(0) = -1

Passo 1

Integrando uma vez temos que r ' ' :

d 3 r d t 3 = d r ' ' d t = - c o s t

d r ' ' = - c o s t d t

∫ d r ' ' = - ∫ c o s t d t

r ' ' t =   - s e n t + C

Onde C é uma constante dos reais.

Passo 2

Usando a condição r ' ' 0 = 0  

r ' ' t =   - s e n t + C

r ' ' 0 =   - s e n 0 + C

C = 0

Logo,

r ' ' t =   - s e n t

Passo 3

Repetindo os passos 1 e 2, agora para o r ' ' :

1)

d r ' = - s e n t d t

∫ d r ' = - ∫ s e n t d t

r ' t =   c o s t + D

2) r ' 0 = 0

r ' t =   c o s t + D

r ' 0 =   c o s 0 + D

D = - 1

Logo,

r ' t =   c o s t - 1

Onde D é uma constante dos reais.

Passo 4

Repetindo novamente os passos 1 e 2, agora para o r ' :

1)

d r = c o s t d t - d t  

∫ d r = ∫ c o s t d t - ∫ d t

r t =   s e n t - t + E

2) r 0 = - 1

r t =   s e n t - t + E

r 0 =   s e n 0 - 0 + E

E = - 1

Logo,

r t =   s e n t - t - 1

Onde E é uma constante dos reais.

Resposta

r t =   s e n t - t - 1

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