Calcule a integral

∫ 0 1 x - 4 x 2 + 5 x + 6   d x

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema? Temos que calcular a seguinte integral:

∫ 0 1 x - 4 x 2 + 5 x + 6   d x

A ideia aqui é reescrever a função de uma forma mais simples, para que seja mais fácil calcular a integral! Pra isso vamos usar frações parciais da seguinte forma:

x - 4 x 2 + 5 x + 6   = A x + a + B x + b

Nesse momento a gente está supondo que o denominador é uma função quadrática com duas raízes reais, que são - a e - b . Não é garantido que isso vai dar certo, mas é uma boa suposição! Vamos tentar calcular a e b , se acharmos podemos prosseguir, se não, tentamos de outro jeito!

Podemos dizer que:

x 2 + 5 x + 6 = x + a x + b = x 2 + x a + b + a b

Então:

a b = 6

a + b = 5

Essa é a hora de soltar a nossa imaginação e pensar em dois números que quando multiplicados dão 6 e somados dão 5 . Nesse caso temos:

a = 2

b = 3

Então:

x 2 + 5 x + 6 = x + 2 x + 3

Pode testar abrindo a função se você quiser! Essa técnica é legal pra quando temos uma função quadrática simples. Pra uma função complicada é melhor usar bhaskara!

Podemos então dizer que:

x - 4 x 2 + 5 x + 6   = A x + 2 + B x + 3

Passo 2

Podemos então dizer que:

x - 4 x 2 + 5 x + 6   = A x + 2 + B x + 3

Logo,

x - 4 x + 2 x + 3 = A x + 3 + B x + 2 x + 2 x + 3

Isto é,

x - 4 x + 2 x + 3 = x A + B + ( 3 A + 2 B ) x + 2 x + 3

Comparando os coeficientes dos denominadores:

A + B = 1 3 A + 2 B = - 4

Resolvendo o sistema, temos:

A = - 6   e   B = 7

Passo 3

Agora vamos voltar para nossa integral!

I = ∫ 0 1 x - 4 x + 2 x + 3 d x = ∫ 0 1 - 6 x + 2 + 7 x + 3 d x  

Vamos resolver as integrais separadamente:

∫ 0 1 - 6 x + 2 d x

Podemos fazer:

u = x + 2

d u d x = 1 → d x = d u

∫ - 6 x + 2 = ∫ - 6 u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

∫ - 6 u = - 6 ln ⁡ u + C = - 6 ln ⁡ x + 2 + C

De forma simular, temos:

∫ 7 x + 3   d x = ∫ 7 u   d u = 7 ln ⁡ u + C = - 7 ln ⁡ x + 3 + C

Então temos:

∫ 0 1 x - 4 x + 2 x + 3 d x = - 6 ⋅ ln ⁡ x + 2 + 7 ln ⁡ x + 3 | 0 1  

Aplicando entre os ponto 0 e 1 :

I = - 6 ⋅ ln ⁡ 3 + 7 ln ⁡ 4 - - 6 ⋅ ln ⁡ 2 + 7 ln ⁡ 3

I = - 6 ⋅ ln ⁡ 3 + 7 ln ⁡ 4 + 6 ⋅ ln ⁡ 2 - 7 ln ⁡ 3

I = 20 ln ⁡ 2 - 13 ln ⁡ 3

Resposta

I = 20 ln ⁡ 2 - 13 ln ⁡ 3

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