22. Calcule a integral.

∫ x 4 + 9 x 2 + x + 2 x 2 - 9   d x

Passo 1

Show de bolinhas galeris, queremos usar a técnica de frações parciais para integrar essa coisa linda de integral, MAAASS nosso numerador possui o grau maior do que o denominador, por isso devemos dar uma leve fatorada nesses polinômio pras coisas ficarem mais arrumadinhas, saca só, efetuando a divisão desses polinômios, chegamos em:

  x 4 + 0 x 3 + 9 x 2 + x + 2 - x 4 + 9 x 2                       18 x 2 + x + 2                                           x 2 - 9   x 2                            

  x 4 + 0 x 3 + 9 x 2 + x + 2 - x 4 + 9 x 2                       18 x 2 + x + 2         - 18 x 2 + 0 + 162               x + 164   x 2 - 9   x 2 + 18                          

Logo:

x 4 + 9 x 2 + x + 2 x 2 - 9 = x 2 + 18 + x + 164 x 2 - 9

Isso quer dizer que nossa integral pode ser escrita como:

∫ x 4 + 9 x 2 + x + 2 x 2 - 9   d x = ∫ x 2 + 18 + x + 164 x 2 - 9   d x = ∫ x 2   d x + ∫ 18   d x + ∫ x + 164 x 2 - 9   d x

Passo 2

Show de bolinhas então, para os termos x 2   e   18 , nossa integral é uma integral direta, sem muito segredo, precisamos focar na outra parte dela, onde devemos usar a técnica de frações parciais. Pra isso, vamos organizar o denominador dessa função, assim:

x + 164 x 2 - 9 = x + 164 x - 3 x + 3 = A x - 3 + B x + 3

x + 3 A + x - 3 B = x + 164

x A + B = x

3 A - B = 164

E montamos nosso sisteminha:

A + B = 1 A - B = 164 3

A = 1 - B A - B = 164 3

1 - B - B = 164 3

2 B = - 161 3

B = - 161 6

E para A :

A = 1 - B = 1 + 161 6

A = 167 6

Assim, a integral fica

∫ x + 164 x 2 - 9   d x = ∫ 167 6 1 x - 3 - 161 6 1 x + 3   d x

∫ 167 6 1 x - 3 - 161 6 1 x + 3   d x = 167 6 ln ⁡ x - 3 - 161 6 ln ⁡ x + 3

Logo:

∫ x 4 + 9 x 2 + x + 2 x 2 - 9   d x = ∫ x 2   d x + ∫ 18   d x + ∫ x + 164 x 2 - 9   d x

∫ x 4 + 9 x 2 + x + 2 x 2 - 9   d x = x 3 3 + 18 x + 167 6 ln ⁡ x - 3 - 161 6 ln ⁡ x + 3 + C

Resposta

∫ x 4 + 9 x 2 + x + 2 x 2 - 9   d x = x 3 3 + 18 x + 167 6 ln ⁡ x - 3 - 161 6 ln ⁡ x + 3 + C

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