Enunciado

Calcule a integral.

int_1^3 r^3 ln r d r

Passo 1

Opa, a gente deve calcular a seguinte integral:

int_1^3 r^3 ln r d r

Para isso, devemos utilizar a integração por partes, que é dada da seguinte forma:

int u d v = u v - int v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte algébrica e uma logarítmica. Então diremos que:

u = ln r

d v = r^3 d r

Passo 2

Agora precisamos de achar d u e v :

u = ln r

d v = r^3 d r

(d u)/(d r) = (1)/(r)

int d v = int r^3 d r

v = [(r^4)/(4)]_1^3

Montando a integral por partes:

[ln r (r^4)/(4)]_1^3 - int_1^3 (r^3)/(4) d r

Passo 3

Agora a gente integra:

(1)/(4) int_1^3 r^3 d r

Integrando:

(1)/(4) int_1^3 r^3 d r = [(r^4)/(8)]_1^3

Juntando tudo:

= (81)/(4) ln 3 - 0 - [(r^4)/(8)]_1^3

= (81)/(4) ln 3 - (1)/(16) (81 - 1)

= (81)/(4) ln 3 - 5

Prontinho!

Resposta

(81)/(4) ln 3 - 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde2. f (t) = {[[t , s e |t| = 1],[0 , s e |t|1]])
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[0,s,e,,t,=,0],[1,s,e,,0,,t,=,1],[(1)/(t),s,e,,t,,1]])
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[(1)/((t - 2)^2),s,e,,t,=,1],[(1)/(t),s,e,,t,,1]])
Suponha que f seja de ordem exponencial γ e que, para todo t real, f ' t + 3 f t = t Mostre que, para todo sγ : ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = f 0 s + 3 + 2 s 2 s + 3 Conclua que existem constantes A , B e
Use integração por partes para calcular a integral. ∫ 0 1 2 a r c t g( 2 x ) d x