Calcule a integral.

∫ 1 3 r 3 ln ⁡ r d r  

Passo 1

Opa, a gente deve calcular a seguinte integral:

∫ 1 3 r 3 ln ⁡ r d r  

Para isso, devemos utilizar a integração por partes, que é dada da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte algébrica e uma logarítmica. Então diremos que:

u = ln ⁡ r

d v = r 3 d r

Passo 2

Agora precisamos de achar d u e v :

u = ln ⁡ r

d v = r 3 d r

d u d r = 1 r

∫ d v = ∫ r 3 d r

v = r 4 4 1 3

Montando a integral por partes:

ln ⁡ r r 4 4 1 3 - ∫ 1 3 r 3 4   d r

Passo 3

Agora a gente integra:

1 4 ∫ 1 3 r 3   d r

Integrando:

1 4 ∫ 1 3 r 3   d r = r 4 8 1 3

Juntando tudo:

= 81 4 ln ⁡ 3 - 0 - r 4 8 1 3

= 81 4 ln ⁡ 3 - 1 16 81 - 1

= 81 4 ln ⁡ 3 - 5

Prontinho!

Resposta

81 4 ln ⁡ 3 - 5

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