Calcule a integral.

∫ x x 4 + x ² + 1 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então fazer uma Substituição, temos no numerador um x , e no denominador um x 4 , podemos tentar fazer com que u seja de uma forma que a derivada fique parecida com o x do numerador, assim:

u = x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x   d x → x   d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x x 4 + x ² + 1 d x = ∫ d u 2 u 2 + u + 1

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Se formos tentar achar as raízes do denominador vamos ver que o é negativo, assim não temos raízes reais, vamos tentar então ajustar o denominador para ter raízes reais, vemos que ele se parece muito com u 2 + u + 1 4 = u + 1 2 2 , assim vamos fazer essa modificação:

∫ d u 2 u 2 + u + 1 = ∫ d u 2 u + 1 2 2 + 3 4 = 1 2 ∫ d u u + 1 2 2 + 3 4

Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   u no denominador e uma constante no numerador, que é do formatado da derivada de u , podemos então usar a mudança de variável:

3 2 v = u + 1 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

3 2 d v = 1 + 0   d u = d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ d u u + 1 2 2 + 3 4 = ∫ 3 2 d v 3 2 v 2 + 3 4 = ∫ 3 2 d v 3 4 v 2 + 3 4 = ∫ 3 2 d v 3 4 v 2 + 1 = ∫ 3 2 ∙ 4 3 v 2 + 1 d v = ∫ 2 3 3 v 2 + 1 d v = 2 3 3 ∫ 1 v 2 + 1 d v

Passo 3

Vamos analisar o que fazer para calcular:

∫ 1 v 2 + 1 d v

Agora é simples, já tá na forma de uma das integrais indefinidas da tabela:

∫ 1 x 2 + 1 d x = tg - 1 ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ 1 v 2 + 1 d v = tg - 1 ⁡ v + C

Pronto, agora é ir só substituindo de volta:

∫ d u 2 u 2 + u + 1 = 1 2 ∫ d u u + 1 2 2 + 3 4 = 1 2 ∙ 2 3 3 ∫ 1 v 2 + 1 d v = 3 3 tg - 1 ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x x 4 + x ² + 1 d x = 3 3 tg - 1 ⁡ u + 1 2   ∙ 2 3 + C = 3 3 tg - 1 ⁡ x 2 + 1 2   ∙ 2 3 + C

Resposta

∫ x x 4 + x ² + 1 d x = 3 3 tg - 1 ⁡ x 2 + 1 2   ∙ 2 3 + C

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