Calcule a integral.

∫ 3 x 2 - 2 x 3 - 2 x - 8 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, pois temos um polinômio de maior grau como sendo 3 no denominador e de grau 2 no numerador, podemos tentar fazer com que u seja a expressão do denominador, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x 3 - 2 x - 8

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   3 x 2 - 2   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 3 x 2 - 2 x 3 - 2 x - 8 d x = ∫ 1 u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ 3 x 2 - 2 x 3 - 2 x - 8 d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = x 3 - 2 x - 8 :

∫ 3 x 2 - 2 x 3 - 2 x - 8 d x = ln ⁡ u + C = ln ⁡ x 3 - 2 x - 8 + C

Resposta

∫ 3 x 2 - 2 x 3 - 2 x - 8 d x = ln ⁡ x 3 - 2 x - 8 + C

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