Calcule a integral ∫ 2 t g x sec 2 ⁡ x d x  

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = t g x   ⇒ d u = sec 2 ⁡ x   d x

Passo 2

Substituindo a nova variável,

  ∫ 2 t g x sec 2 ⁡ x d x   =   ∫ 2 u sec 2 ⁡ x d x   =   ∫ 2 u   d u    

Passo 3

Vamos pensar um pouco, beleza? Todo o nosso trabalho em integrais é deixar ele com a cara de alguém que conhecemos a primitiva, concorda ? Então, se a gente for olhar pra a derivada de funções exponenciais, e olhar para a nossa integra, da pra ver que tem uma coisinha faltando para esse integrando ser a derivada de uma exponencial. Então, vamos adicionar e retirar esse elemento para que não altere a integral. Ou seja,

∫ 2 u   d u     = 1 l n 2 ∫ 2 u   l n 2   d u    

Passo 4

Resolvendo a integral,

1 l n 2 ∫ 2 u   l n 2   d u     = 1 l n 2   2 u

Resposta

∫ 2 t g x sec 2 ⁡ x d x   = 1 l n 2   2 u

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