Calcule a integral.

∫ d x x x 4 + 1

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos manipular um pouco a expressão, multiplicando e dividindo por x :

∫ d x x x 4 + 1 = ∫ x d x x 2 x 4 + 1

Vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com um x 2 , podemos tentar fazer com que u seja essa isso, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x 2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x → x d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x d x x 2 x 4 + 1 = ∫ 1 2 u u 2 + 1 d u = ∫ 1 2 1 u u 2 + 1 d u = ∫ 1 2 1 u - u u 2 + 1 d u = ∫ 1 2 u d u + ∫ - u 2 u 2 + 1 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos calcular as duas separadamente:

É fácil achar a primitiva da função da primeira, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u d u = ln ⁡ u   2 + C

Com a segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer a mudança de variável:

v = u 2 + 1

Vamos agora achar a diferencial de v , derivando:

d v = 2 u d u → u d u = d v 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - u 4 u 2 + 1 d u = ∫ - 1 4 v d v

Vamos usar o mesmo método que usamos para calcular a integral anterior:

∫ - 1 4 v d v = - 1 4 ∫ 1 v d v = - ln ⁡ v   4 + C

Passo 3

Vamos juntar as duas agora:

∫ 1 2 u d u + ∫ - u 4 u 2 + 1 d u = ln ⁡ u   2 - ln ⁡ v   4 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x x x 4 + 1 = ln ⁡ u   2 - ln ⁡ v   4 + C = ln ⁡ x 2   2 - ln ⁡ u 2 + 1   4 + C = ln ⁡ x 2   2 - ln ⁡ x 4 + 1   4 + C

Podemos tirar os módulos, pois as duas expressões não assumem valor negativo:

∫ d x x x 4 + 1 = ln ⁡ x 2   2 - ln ⁡ x 4 + 1   4 + C

Resposta

∫ d x x x 4 + 1 = ln ⁡ x 2   2 - ln ⁡ x 4 + 1   4 + C

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