Calcule a integral

∫ x 2 + 2 x   d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Iremos aqui resolver essa integral. Veja que de cara é difícil encontrar um método para resolver essa integral, nessas situações tentar a substituição trigonométrica pode ser uma boa opção.

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral.

Temos que

x 2 + 2 x = x + 1 2 - 1

Agora, sugiro dizer que

x + 1 = sec ⁡ θ

Passo 2

Diferenciando, temos que

d x = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

∫ x 2 + 2 x   d x = ∫ x + 1 2 - 1   d x

= ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ

= ∫ sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

As integrais são tabeladas, então temos que

∫ sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ sec ⁡ θ d θ

= 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + c

= 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + c

Agora, precisamos encontrar uma expressão para sec ⁡ θ e tan ⁡ θ em função de x . Lembra que dissemos que

x + 1 = sec ⁡ θ

Vimos também, durante a resolução da integral, que

x 2 + 2 x = tan ⁡ θ

Passo 4

Agora que encontramos uma expressão para sec ⁡ θ e tan ⁡ θ em função de x , só falta substituirmos

1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + c

= 1 2 x + 1 x 2 + 2 x - 1 2 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + c

Resposta

∫ x 2 + 2 x   d x = 1 2 x + 1 x 2 + 2 x - 1 2 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + c

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