Calcule a integral indefinida.

∫ d x x 2 4 - x 2

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o 4 - x 2 e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = 4 - x 2

t 2 = 4 - x 2

t 2 + x 2 = 2 2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin ⁡ θ = x 2

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 2 sin ⁡ θ e também as mudanças necessárias.

x = 2 sin ⁡ θ

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

∫ 2 cos ⁡ θ d θ 2 sin ⁡ θ 2 4 - 2 sin ⁡ θ 2

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a identidade Trigonométrica.

∫ 2 cos ⁡ θ d θ 4 sin 2 ⁡ θ 4 1 - sin 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

∫ 2 cos ⁡ θ d θ 4 sin 2 ⁡ θ 4 cos 2 ⁡ θ

∫ 2 cos ⁡ θ d θ 4 sin 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ

1 4 ∫ d θ sin 2 ⁡ θ

Passo 4

Aplicando a seguinte relação csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente cot ⁡ θ = 4 - x 2 x

1 4 ∫ csc 2 ⁡ θ d θ

- 1 4 cot ⁡ θ + c

- 1 4 ∙ 4 - x 2 x + c

Resposta

- 1 4 ∙ 4 - x 2 x + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados