Calcule a integral indefinida.

∫ d w w 2 w 2 - 7

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o w 2 - 7 2 e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = w 2 - 7 2

t 2 = w 2 - 7 2

t 2 + 7 2 = w 2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sec ⁡ θ = w 7

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar w = 7 sec ⁡ θ e também as mudanças necessárias.

w = 7 sec ⁡ θ

d w = 7 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

∫ 7 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 7 sec ⁡ θ 2 7 sec ⁡ θ 2 - 7 d θ

Passo 3

Vamos aplicar a Identidade Trigonométrica.

∫ 7 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 7 sec 2 ⁡ θ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) 7 d θ

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ∙ 1 cos 2 ⁡ θ

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

∫ 7 tan ⁡ θ sec ⁡ θ 7 sec 2 ⁡ θ 7 tan ⁡ θ d θ

1 7 ∫ 1 sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente sin ⁡ θ = w 2 - 7 w .

1 7 ∫ cos ⁡ θ d θ

1 7 sin ⁡ θ + c

w 2 - 7 7 w + c

Resposta

w 2 - 7 7 w + c

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