Calcule a integral

∫ d t t 2 - 6 t + 13

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Temos que

t 2 - 6 t + 13 = t 2 - 6 t + 9 + 4 = t - 3 2 + 4

Agora, sugiro dizer que

t - 3 = 2 tan ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d t = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

∫ d t t 2 - 6 t + 13 = ∫ d t t - 3 2 + 4 = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ + 4 d θ = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ + 1 d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ 2 sec 2 ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ + 1 d θ = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 2

A integral é tabelada, então temos que

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + c

Agora, precisamos encontrar uma expressão para sec ⁡ θ e tan ⁡ θ em função de t . Lembra que dissemos que

t - 3 = 2 tan ⁡ θ

Então

tan ⁡ θ = t - 3 2

Da integral, vimos que

t 2 - 6 t + 13 = 2 sec ⁡ θ

Então

sec ⁡ θ = t 2 - 6 t + 13 2

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para sec ⁡ θ e tan ⁡ θ em função de t , só falta substituirmos

ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + c = ln ⁡ t 2 - 6 t + 13 2 + t - 3 2 + c = ln ⁡ t 2 - 6 t + 13 + t - 3 - ln ⁡ 2 + c

Resposta

∫ d t t 2 - 6 t + 13 = ln ⁡ t 2 - 6 t + 13 + t - 3 - ln ⁡ 2 + c

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