Calcule a integral indefinida

∫ 2 3 x + e 3 x d x  

Passo 1

Oiii, estamos agora terminando nossos estudos em cálculo 1 e aprendendo integrações. Uma coisa bacana para a gente poder resolver esse exercício é lembra das seguintes regras de integração

∫   a + b   d x → ∫ a   d x   + ∫ b   d x

Beleza? Bora cair dentro !!!

Passo 2

Nossa função é

∫ 2 3 x + e 3 x d x

Vamos começar com a exponencial. Como a derivada da exponencial é sempre ela mesma multiplicada por algum fator, para mim é mais tranquilo se pensarmos na integração da de uma exponencial como um processo de anti-derivação . Fazendo assim

d d x e 3 x = 3 e 3 x

1 3 d d x e 3 x =   e 3 x  

Então eu sei que se eu derivar 1 3 e 3 x eu fico com e 3 x , isso me ajuda pensar no seguinte: A integral de e 3 x pode ser feita de um modo mais simples

1 3 d d x e 3 x =   e 3 x  

Se eu integrar agora em ambos os lados eu terei

1 3 d d x ∫ e 3 x d x = ∫ e 3 x d x  

1 3 e 3 x = ∫ e 3 x d x

Sacou? Exponencial é sempre uma função cíclica. Então pensar na derivada dessa função muitas vezes ajuda.

Passo 3

Entao resolvemos parte do nosso problema.

∫ 2 3 x + e 3 x d x = e 3 x 3 +   ∫ 2 3 x d x

Agora só temos que integrar o outro fator. E para isso vamos usar a seguinte propriedade de exponencial

a b = e b ln ⁡ a

Isso quer dizer que

2 3 x = e 3 x ⋅ l n 2

Beleza!!! Agora sim podemos integrar

∫ 2 3 x d x =   ∫ e 3 l n 2 ⋅ x d x

Vamos fazer o mesmo processo que o passo anterior, vamos pensar na derivada de dessa função exponencial

d d x e 3 l n 2 ⋅ x =   e 3 l n 2 ⋅ x ⋅ 3 ln ⁡ 2

Entao podemos fazer o seguinte jogo com fatores

1 3 ln ⁡ 2   d d x e 3 l n 2 ⋅ x =   e 3 l n 2 ⋅ x

E agora integramos

∫ 1 3 ln ⁡ 2   d d x e 3 l n 2 ⋅ x d x = ∫ e 3 l n 2 ⋅ x d x

∫ e 3 l n 2 ⋅ x d x = 1 3 ln ⁡ 2   e 3 l n 2 ⋅ x

Agora podemos voltar com os termos que tínhamos antes

e 3 l n 2 ⋅ x → 2 3 x

Prontinho. Integramos \o/. Vamos unir os resultados

∫ 2 3 x + e 3 x d x = 1 3 l n 2 2 3 x + 1 3 e 3 x + C    

E como é uma integral indefinida temos que somar a uma constante arbitrária C.

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ 2 3 x + e 3 x d x =   1 3 l n 2 2 3 x + 1 3 e 3 x + C  

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