Calcule a integral:

∫ 1 2 x x 2 - 1 + 1 - x 4 1 + x 2 d x  

Passo 1

A primeira regra importante para a resolução dessa integral é que a Integral das somas (ou subtração) é a soma das integrais (ou subtração das integrais).

∫ f x ± g x = ∫ f x d x ±   ∫ g x d x

Passo 2

A integral fornecida pelo problema é:

∫ 12 x x 2 - 1 + 1 - x 4 1 + x 2 d x  

Aplicando a regra acima, reescrevemos a equação como:

∫ 12 x x 2 - 1 + 1 - x 4 1 + x 2 d x   = ∫ 12 x x 2 - 1 d x + ∫ 1 - x 4 1 + x 2 d x

Retirando as constantes de dentro da integral:

∫ 12 x x 2 - 1 + 1 - x 4 1 + x 2 d x   = 12 ∫ 1 x x 2 - 1 d x + ∫ 1 - x 4 1 + x 2 d x

Sabendo que 1 - x 4 = 1 - x 2 1 + x 2 ,   podemos substituir na equação:

∫ 12 x x 2 - 1 + 1 - x 4 1 + x 2 d x   = 12 ∫ 1 x x 2 - 1 d x + ∫ ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 d x

Cortando termos:

∫ 12 x x 2 - 1 + 1 - x 4 1 + x 2 d x   = 12 ∫ 1 x x 2 - 1 d x + ∫ ( 1 - x 2 ) d x

De acordo com as derivadas de funções trigonométricas inversas, temos que :   d sec - 1 ⁡ ( x ) d x = 1 x x 2 - 1   :

∫ 12 x x 2 - 1 + 1 - x 4 1 + x 2 d x   = 12 sec - 1 ⁡ ( x ) - x 3 3 + x + C

Resposta

∫ 12 x x 2 - 1 + 1 - x 4 1 + x 2 d x   = 12 sec - 1 ⁡ ( x ) - x 3 3 + x + C

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