Enunciado

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ x 1 / 3 2 - x 2   d x

Passo 1

E ae, galerinha! Precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o integrando é a multiplicação de duas funções de x , sendo uma elevada ao quadrado, podemos fazer a multiplicação da potência e, em seguida, a distributiva. Logo:

∫ x 1 / 3 2 - x 2   d x = ∫ x 1 / 3 4 - 4 x + x 2   d x = ∫ ( 4 x 1 / 3 - 4 x 4 / 3 + x 7 / 3 )   d x

Além disso, observando o Teorema 5.2 . 3 , podemos concluir que a integral do nosso caso se encaixa nos casos a , b e c .

Passo 3

Com isso, aplicando o Teorema teremos:

∫ ( 4 x 1 / 3 - 4 x 4 / 3 + x 7 / 3 )   d x = 4 ∫ x 1 / 3 d x - 4 ∫ x 4 / 3 d x + ∫ x 7 / 3 d x

Tal que o resultado é:

∫ x 1 / 3 2 - x 2   d x = 4 x 4 / 3 ( 4 / 3 ) - 4 x 7 / 3 7 / 3 + x 10 / 3 ( 10 / 3 ) + C

∫ x 1 / 3 2 - x 2   d x = 3 x 4 / 3 - 12 7 x 7 / 3 + 3 10 x 10 / 3 + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d x 3 x 4 / 3 - 12 7 x 7 / 3 + 3 10 x 10 / 3 + C = 3 4 3 x 1 / 3 - 12 7 7 3 x 4 / 3 + 3 10 10 3 x 7 / 3 + 0

d d x 3 x 4 / 3 - 6 7 x 7 / 3 + 3 10 x 10 / 3 + C = 4 x 1 / 3 - 4 x 4 / 3 + x 7 / 3

E, tirando o fator comum:

4 x 1 / 3 - 4 x 4 / 3 + x 7 / 3 = x 1 / 3 4 - 4 x + x 2

Lembrando que o trinômio quadrado perfeito tem a forma:

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

E nosso fator entre parênteses resultante da derivada pode ser reescrito como:

4 - 2 x + x 2 = 2 2 + 2 2 x + x 2  

Concluímos que:

x 1 / 3 4 - 4 x + x 2 = x 1 / 3 2 - x 2

Que é o mesmo que o integrando inicial.

Resposta

∫ x 1 / 3 2 - x 2   d x = 3 x 4 / 3 - 12 7 x 7 / 3 + 3 10 x 10 / 3 + C

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