Calcule a integral.

∫ 2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 d x

Passo 1

Vamos avaliar a integral:

∫ 2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 d x

A função pode ser escrita como:

2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 = 2 x 2 - 2 x - 1 x 2 ( x - 1 )

Além disso, podemos resolver a integral reescrevendo-as na fórmula de frações parciais, que por se tratar de x 3 tera parte A ,   B   e C :

2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 = A x + B x 2 + C x - 1

Multiplicando os termos, teremos:

2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 = A x 2 - x + B x - 1 + C x 2 x 3 - x 2

Cortando os denominadores, podemos dizer que:

2 x 2 - 2 x - 1 = A x 2 - x + B x - 1 + C x 2

Agora, precisamos encontrar os valores para A ,   B e C .

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor de B , se x = 0 :

2 x 2 - 2 x - 1 = A x 2 - x + B x - 1 + C x 2

2 . 0 2 - 2 . 0 - 1 = A 0 2 - 0 + B 0 - 1 + C . 0 2

- 1 = B - 1

B = 1

Agora, vamos avaliar o valor de C , quando x = 1 (para conseguirmos zerar os termos A   e B ):

2 x 2 - 2 x - 1 = A x 2 - x + B x - 1 + C x 2

2 . 1 2 - 2 . 1 - 1 = A 1 2 - 1 + B 1 - 1 + C . 1 2

- 1 = C

Agora, vamos encontrar o valor de A :

2 x 2 - 2 x - 1 = A x 2 - x + B x - 1 + C x 2

Substituindo os valores de B e C :

2 x 2 - 2 x - 1 = A x 2 - x + 1 x - 1 + ( - 1 ) x 2

2 x 2 - 2 x - 1 = A x 2 - A x + x - 1 - x 2

Unindo termos em comum:

3 x 2 - 3 x = A x 2 - A x

Isolando x 2 - x :

3 x 2 - x = A ( x 2 - x )

A = 3

Agora que encontramos os valores de A ,   B e C podemos substituir na equação.

Passo 3

Relembrando que, temos a integral:

∫ 2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 d x

Pode ser reescrita como

∫ 2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 d x = ∫ A x + B x 2 + C x - 1 d x

Substituindo os valores encontrados, temos:

∫ 2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 d x = ∫ 3 x + 1 x 2 - 1 x - 1 d x

Então:  

∫ 2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 d x = ∫ 3 x d x + ∫ 1 x 2 d x - ∫ 1 x - 1 d x

Resolvendo:

∫ 2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 d x = 3 ln ⁡ 3 + ln ⁡ x - 1 - 1 x + C

Resposta

∫ 2 x 2 - 2 x - 1 x 3 - x 2 d x = 3 ln ⁡ 3 + ln ⁡ x - 1 - 1 x + C

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