Calcule a integral.

∫ 2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Pela estrutura da nossa equação, e pelas regras de integração parcial. Conseguimos separar nossa função em duas partes com três termos:

∫ 2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = ∫ A 4 x - 1 + B x + C x 2 + 1 d x

Então:

2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) = ∫ A 4 x - 1 + B x + C x 2 + 1

Reorganizando a equação, temos:  

2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) = A x 2 + 1 + ( B x + C ) ( 4 x - 1 ) ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 )

Cortando os termos em comum do denominador, temos:

2 x 2 - 1 = A x 2 + A + 4 B x 2 - B x + 4 C x - C

Combinando os termos, temos:

2 x 2 - 1 = A x 2 + 4 B x 2 + - B x + 4 C x + ( A - C )

2 x 2 - 1 = x 2 A + 4 B + - B + 4 C x + ( A - C )

Igualando as equações em comum, temos:

2 = A + 4 B   ( I )

0 = - B + 4 C   ( I I )

A - C = - 1 ( I I I )

Passo 2

Resolvendo o sistema, podemos dizer que :

2 = A + 4 B   ( I )

0 = - B + 4 C   ( I I )

A - C = - 1 ( I I I )

Então:

B = 4 C   ( I I )

Substituindo em I I e I I I em I , temos:

C - 1 + 4 4 C = 2

17 C - 1 = 2

C = 3 17

Portanto:

A = C - 1

A = 3 17 - 1 = - 14 17

E também:

B = 4 C = 12 17

Passo 3

Agora, tendo a equação :

∫ 2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = ∫ A 4 x - 1 + B x + C x 2 + 1 d x

Substituindo os termos calculados:

∫ 2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = ∫ - 14 17 4 x - 1 + 12 17 x + 3 17 x 2 + 1 d x

Portanto:

∫ 2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = - 14 17 4 ∫ 4 4 x - 1 d x + 6 17 ∫ 2 x x 2 + 1 d x + 3 17 ∫ 1 x 2 + 1 d x

Integrando:

∫ 2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = - 7 34 ln ⁡ 4 x - 1 + 6 17 ln ⁡ x 2 + 1 + 3 17 tg - 1 ⁡ x + C  

Resposta

∫ 2 x 2 - 1 ( 4 x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = - 7 34 ln ⁡ 4 x - 1 + 6 17 ln ⁡ x 2 + 1 + 3 17 tg - 1 ⁡ x + C  

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