Enunciado

39. Um fabricante que começou a operar quatro anos atrás determinou que o rendimento das vendas vem crescendo estavelmente à taxa de t 3 + 3 t 2 + 6 t + 7 t 2 + 3 t + 2 milhões por ano, onde t é o número de anos que a fábrica vem operando. Estima-se que o rendimento total das vendas continuará crescendo à mesma taxa nos próximos dois anos. Se o rendimento total do ano que acabou foi de 6 milhoes, qual será o rendimento total das vendas esperado daqui um ano? Dê a resposta com precisao de 100 dolares.

Passo 1

Esta questão é mais uma questão que pode ser resolvida utilizando o mesmo raciocínio de algumas questões anteriores desta mesma seção.

Como trata-se de um enunciado bem grande, para resolver este tipo de problema devemos tirar todas as informações do enunciado e aplicar os conceitos de cálculo desenvolvidos até aqui para dar sequência na resolução da questão.

Passo 2

Como foi dito no enunciado da questão, a taxa de crescimento do rendimento é estável,sendo assim ela pode ser escrita como:

d y d t = t 3 + 3 t 2 + 6 t + 7 t 2 + 3 t + 2

Decompondo em frações parciais a expressão da direita, temos que ela equivale à:

t + 1 t + 2 + 3 t + 1

Sendo assim, o valor de y pode ser calculado como:

y = ∫ t + 1 t + 2 + 3 t + 1 d t = 1 2 t 2 + ln ⁡ t + 2 + 3 ln ⁡ t + 1 + C

Passo 3

Agora precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no enunciado para descobrimos o valor da constante C , deixando a expressão somente em função do tempo:

Q u a n d o   t = t ,   y = 6   e   a s s i m   t e m o s   6 = 8 + ln ⁡ 6 + 3 ln ⁡ 5 + C ; C = - 2 - ln ⁡ 6 - 3 ln ⁡ 5

Passo 4

Esperando daqui 1 ano, temos que t = 5   , assim:

y 5 = 1 2 25 + ln ⁡ 7 + 3 ln ⁡ 6 - 2 - ln ⁡ 6 - 3 ln ⁡ 5 = 11.2011

Assim, o rendimento total das vendas esperado daqui um ano será de 11,2011,100 milhões de dólares.

Resposta

11,2011,100 milhões de dólares.

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Calcule a integral definida. ∫ 3 4 5 x 3 - 4 x d x x 4 - 16
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Calcule a integral definida. ∫ 1 4 4 + 5 x 2 d x x 3 + 4 x