Calcule a integral:

∫ x e - x d x

Passo 1

Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:

∫ x e - x d x

Analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.

Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = e - x d x v =   ? u = x d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = e - x d x v = ∫ e - x d x = - e - x + C u = x d u =   1 d x

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por parte:

∫ x ⏟ u e - x d x ⏟ d v = x ⏟ u - e - x ⏟ v - ∫ - e - x ⏟ v 1 d x ⏟ d u

∫ x e - x d x = - x e - x + ∫ e - x d x = - x e - x - e - x + C

∫ x e - x d x = - e - x x + 1 + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ x e - x d x = - e - x x + 1 + C

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