Calcule a integral indefinida

∫ 2 4 s e c - 1 t dt

Passo 1

Entendendo o problema

  1. note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando s e c - 1 t   não aparece da forma [( a 2 - t 2 ), ( a 2 + t ² ), ( t 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

Para resolver esse problema, primeiro devemos fazer uma mudança de variável. Seja t = x² então dt= 2xdx certo?

Substituindo no integrando, temos;

∫ s e c - 1 t dt= ∫   s e c - 1 x 2 x d x (note que vamos desprezar o intervalo de integração nesses passos iniciais)

Passo 3

segundo passo importante é analisar a formula de integração por partes e aplica-la

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

Note que devemos encontrar todos os termos da formula , então façamos

f(x)=   s e c - 1 x     d e r i v a n d o       f ' x = 1/x( x 2 - 1

g’(x) = 2 x integrando g(x)= x²

substituindo na formula, temos

∫   s e c - 1 x 2 x d x = x².   s e c - 1 x     - ∫ x ² / x ( x 2 - 1 ) dx simplificando o x, temos

- ∫ x / ( x 2 - 1 ) d x note que nessa integral podemos usar a regra da substituição. Vamos lá.

Passo 4

Seja u= x²-1 então du= 2xdx substituindo no integrando temos

∫ x / ( x 2 - 1 ) d x = 1 / 2 ∫ 1 / u ) d u

Integrando temos;

1 / 2 ∫ 1 / u ) d u = u voltando para x temos

= u = x 2 - 1 e substituindo na equação principal, temos;

Passo 5

∫   s e c - 1 x 2 x d x = x².   s e c - 1 x     - ∫ x / ( x 2 - 1 ) d x

∫   s e c - 1 x 2 x d x = x².   s e c - 1 x     -( x 2 + 1 )

E colocando em função de t , temos

∫ s e c - 1 t d t = x².   s e c - 1 t   -( t - 1 )

Aplicando os intervalos de integração temos

Resposta

∫ 2 4 s e c - 1 t dt= 5 π 4 -   3     +1

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