Enunciado

Calcule a integral indefinida

int_2^4 s e c^(- 1) sqrt(t) dt

Passo 1

Entendendo o problema

  1. note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando s e c^(- 1) sqrt(t) não aparece da forma [( sqrt(a^2 - t^2) ), ( sqrt(a^2 + t ²) ), ( sqrt(t^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

Para resolver esse problema, primeiro devemos fazer uma mudança de variável. Seja t = x² então dt= 2xdx certo?

Substituindo no integrando, temos;

int_()^() s e c^(- 1) sqrt(t) dt= int s e c^(- 1) x 2 x d x (note que vamos desprezar o intervalo de integração nesses passos iniciais)

Passo 3

segundo passo importante é analisar a formula de integração por partes e aplica-la

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

Note que devemos encontrar todos os termos da formula , então façamos

f(x)= s e c^(- 1) x d e r i v a n d o f^' (x) = 1/x( sqrt(x^2 - 1)

g’(x) = 2 x integrando g(x)= x²

substituindo na formula, temos

int s e c^(- 1) x 2 x d x = x². s e c^(- 1) x - int x ² // x sqrt(( x^2 - 1) ) dx simplificando o x, temos

- int x // sqrt(( x^2 - 1) ) d x note que nessa integral podemos usar a regra da substituição. Vamos lá.

Passo 4

Seja u= x²-1 então du= 2xdx substituindo no integrando temos

int x // sqrt(( x^2 - 1) ) d x = 1 // 2 int 1 // sqrt(u) ) d u

Integrando temos;

1 // 2 int 1 // sqrt(u) ) d u = sqrt(u) voltando para x temos

= sqrt(u) = sqrt(x^2 - 1) e substituindo na equação principal, temos;

Passo 5

int s e c^(- 1) x 2 x d x = x². s e c^(- 1) x - int x // sqrt(( x^2 - 1) ) d x

int s e c^(- 1) x 2 x d x = x². s e c^(- 1) x -( sqrt(x^2 + 1) )

E colocando em função de t , temos

int_()^() s e c^(- 1) sqrt(t) d t = x². s e c^(- 1) sqrt(t) -( sqrt(t - 1) )

Aplicando os intervalos de integração temos

Resposta

int_2^4 s e c^(- 1) sqrt(t) dt= 5 (pi)/(4) - sqrt(3 ) +1

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