Enunciado

Questão 34) Calcule a integral indefinida:

int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) x . c o t g x . c o s s e c x d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve
  2. Além disso, Note que o integrando’ ‘ x . c o t g x . c o s s e c x ' ' não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X ) e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções

Passo 2

Esse problema, a primeira vista parece muito difícil não é mesmo? mas vamos tentar responder.

Usando passos de integração por partes. temos;

Seja f(x) = x derivando f’(x) = 1

g’(x) = c o t g x . c o s s e c x i n t e g r a n d o g(x) = - c o s s e c x

Substituindo na formula, temos;

int x . c o t g x . c o s s e c x d x = x . c o s s e c - int - c o s s e c x d x

= x . c o s s e c x + int c o s s e c x d x

Note que não é fácil calcular ‘’ int c o s s e c x d x ’’ certo? então por esse motivo e entre outros é importante fazer exercícios para ficar fixado essas integrais não triviais, certo.

( n o t a ; int c o s s e c x d x = ln | cossec x – cotg x | + C)

Fazendo C = 0 e substituindo na formula temos;

Passo 3

int c o s s e c x d x = - x . c o s s e c x + ln| cossec x – cotg x x|| [[(3 pi)/(4)],[(pi)/(4)]]

= - (1)/(2) sqrt(2 pi) l n ( sqrt(2 + 1) ) + l n ( sqrt(2 + 1) ) = 0,468

Resposta

int_((pi)/(4))^((3 pi)/(4)) x . c o t g x . c o s s e c x d x = 0,468

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