Calcule a integral:

∫ c o t g 3 x   c o s s e c 3   x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Vamos precisar refletir. Temos um expoente ímpar na c o t g   x , isso é um bizu para lembrarmos que:

c o s s e c   x ' = - c o s s e c   x   c o t g   x

O que a gente pode tentar fazer para usar isso é fazer esse produto aparecer e deixar o resto da integral em função de cossecante, para depois usar uma substituição bonitinha. Podemos escrever:

∫ c o t g 3 x   c o s s e c 3   x d x = ∫ c o t g 2 x   c o s s e c 2 x c o s s e c   x   c o t g   x d x

E lembrar que:

c o t g 2 x = c o s s e c 2 x - 1

Então, nossa integral fica:

∫ ( c o s s e c 2 x - 1 )   c o s s e c 2 x c o s s e c   x   c o t g   x d x

Ih, conseguimos!

Passo 2

Agora é a hora de fazer a substituição bonitinha:

u = c o s s e c   x , d u d x = - c o s s e c   x   c o t g   x ∴ - d u = c o s s e c   x   c o t g   x   d x

E a integral fica:

∫ c o s s e c 2 x - 1 c o s s e c 2 x c o s s e c   x   c o t g   x d x = - ∫ u 2 - 1 u 2 d u = ∫ - u 4 + u 2 d u

Calculando a integral:

∫ - u 4 + u 2 d u = - u 5 5 + u 3 3

Passo 3

Precisamos agora voltar a variável x :

u = c o s s e c   x

∫ c o t g 3 x   c o s s e c 3   x d x = - c o s s e c   x 5 5 + c o s s e c   x 3 3

Mas a não podemos esquecer a constante de integração:

∫ c o t g 3 x   c o s s e c 3   x d x = - c o s s e c   x 5 5 + c o s s e c   x 3 3 + C

Resposta

∫ c o t g 3 x   c o s s e c 3   x d x = - c o s s e c   x 5 5 + c o s s e c   x 3 3 + C

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