Calcule a integral:

∫ tg 4 ⁡ x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

∫ t g n x d x = t g n - 1 x n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Podemos reduzir o expoente da tangente, usando nossa fórmulinha de redução:

∫ t g 4 x d x = t g 3   x 3 - ∫ t g 2 x d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral aí que apareceu:

∫ t g 2 x d x

Lembrando da identidade trigonométrica que diz:

t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1

E substituindo ali em cima:

∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x

Aí é só resolver, lembrando que:

∫ sec 2 ⁡ x d x = t g   x

∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x = t g   x - x

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral que queremos calcular:

∫ t g 4 x d x = t g 3   x 3 - t g   x +   x

E não podemos esquecer da constante de integração:

∫ t g 3 4 x d x = t g 3   x 3 - t g   x +   x + C

Resposta

∫ t g 3 4 x d x = t g 3   x 3 - t g   x +   x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados