Calcule a integral:

∫ 0 π 8 t g 2 2 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

∫ t g n x d x = t g n - 1 x n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento da função tangente sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = 2 x ∴ d u d x = 2 ∴ d u 2 = d x

Nossa integral fica:

1 2 ∫ t g 2 u d u

Passo 3

Vamos resolver essa integral, lembrando que:

t g 2 u = sec 2 ⁡ u - 1

Substituindo na integral:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ u - 1 d u

E a gente sabe que:

∫ sec 2 ⁡ u d u = t g   u

Então:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ u - 1 d u = t g   u 2 - u 2

Voltando a x :

∫ t g 2 2 x d x = t g   2 x 2 - x

Passo 4

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer mais umas continhas ainda:

∫ 0 π 8 t g 2 2 x d x = t g   2 x 2 - x | π 8 0 = 1 2 - π 8

Resposta

∫ 0 π 8 t g 2 2 x d x = 1 2 - π 8

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