Calcule a integral.

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x

E supondo:

u = s e n ln ⁡ x   e   d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = 1 x cos ⁡ ln ⁡ x d x

E:

v = ∫ d x

Ou seja:

v = x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = s e n ln ⁡ x x - ∫ x 1 x cos ⁡ ln ⁡ x d x

Que pode ser reescrita como:

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = x s e n ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 4

Aplicando a integração por partes novamente, agora supondo:

u = cos ⁡ ln ⁡ x e   d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = - 1 x s e n ln ⁡ x d x

E:

v = x

Teremos:

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = x s e n ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x x - ∫ x - 1 x s e n ln ⁡ x d x

Ou seja:

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = x s e n ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x

Passo 5

Como há um termo semelhante nos dois lados da equação, podemos passar tudo para um lado só:

2 ∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = x s e n ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x + C

Logo:

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = 1 2 x s e n ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x + C

E tirando o fator comum:

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = 1 2 x s e n ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

Resposta

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = 1 2 x s e n ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

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