Enunciado

Calcule a integral indefinada. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável, usando o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ) .

∫ x e - 2 x d x

Passo 1

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( x ) e g ( x ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f x g ' x = f x g x - ∫ f ' x g ( x )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f ( x ) . Assim:

f x = x         e           g ' x = e - 2 x

Derivando f e integrando g ' , temos:

f x = x   ⇒ f ' x = 1

g ' x = e - 2 x ⇒ g x = ∫ e - 2 x d x   = - e - 2 x 2

Observe que aplicamos a integração por substituição na integral com a exponencial, lembre-se que esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x )   conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir. Logo:

u = - 2 x ⇒ d u = - 2   d x   ⇒   d u - 2 = d x

∫ e 2 x   d x = ∫ - 1 2 e u d u = - 1 2 ∫ e u d u = - 1 2 e u + C = - 1 2 e 2 x + C

Passo 2

Aplicando as funções e suas derivadas na fórmula citada no passo anterior, temos:

∫ x e - 2 x     d x = - x 2 e - 2 x     - ∫ - e - 2 x 2 d x = - x 2 e - 2 x + 1 2 ∫ e - 2 x d x = - x 2 e - 2 x - 1 4 e - 2 x + C

Passo 3

Tomando C = 0 , e esboçando o gráfico da função f   e de sua primitiva F temos:

Verificamos que a resposta é sim razoável pois F tem um mínimo onde f muda de negativo para positivo. Além disso, F aumenta onde f é positivo e F diminui onde f é negativo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a integral indefinida: ∫ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x e x x + 1 2 d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x tan - 1 ⁡ x d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 sen ⁡ 3 x d x
Use a fórmula: ∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y , sendo y = f - 1 ( x ) Expresse suas respostas em termos de x:69 - ∫ sec - 1 ⁡ x d x