Calcule a integral.

∫ 1 x 2 9 - x 2 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 1 x 2 9 - x 2 d x

Vamos chamar:

x = 3 sin ⁡ θ

d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 3 cos ⁡ θ 3 sin ⁡ θ 2 9 - 3 sin ⁡ θ 2 d θ

= ∫ 3 cos ⁡ θ 9 sin 2 ⁡ θ 9 - 9 sin 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 3 cos ⁡ θ 9 sin 2 ⁡ θ ⋅ 3 1 - sin 2 ⁡ θ d θ

= 1 9 ∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ d θ

= 1 9 ∫ 1 sin 2 ⁡ θ d θ

= 1 9 ∫ csc 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

1 9 ∫ csc 2 ⁡ θ d θ

= - 1 9 cot ⁡ θ + C

Voltando para x :

- 1 9 9 - x 2 x + C

Resposta

- 1 9 9 - x 2 x + C

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