Enunciado

Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6, 8 e 10 cm. Encontre as dimensões do retângulo com a a maior área, supondo que ele está posicionado conforme a Figura Ex-6.

Passo 1

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Sempre esses exercícios precisam da sua boa interpretação de texto. No caso, queremos inserir um retângulo com a maior área possível, em uma posição específica, dentro do triângulo retângulo dado. Como fazer isso?

Passo 2

Comecemos por nomear nossas incógnitas. Vamos chamar de x e y os lados do retângulo da seguinte forma:

x

y

Como a gente quer a maior área possível pra esse retângulo, já escrevemos a expressão pra área dele, pois iremos usá-la! Temos pra área A desse retângulo:

A = x ∙ y

Aqui o problema é que A está em função de duas incógnitas, mas, pra trabalhar essa função e achar seu valor máximo, precisamos escrever ela em função de uma só incógnita. Vamos fazer isso da seguinte forma:

x

8 - x

6 - y

y

E por que fazer isso? Porque assim, trabalhando com semelhança de triângulos, podemos estabelecer uma relação entre x e y .

Pela semelhança entre o menor triângulo retângulo formado em cima do cateto de comprimento 6 cm e o triângulo retângulo original, podemos escrever:

x 6 - y = 8 6

Trabalhando esses quocientes, temos:

6 x = 48 - 8 y

4 y = 24 - 3 x

y = 6 - 3 x 4

Passo 3

Agora pegamos essa expressão pra y e substituímos ela na expressão para área,escrevendo-a apenas em função x dessa vez. Vamos ter:

A x = x ∙ 6 - 3 x 4

A x = 6 x - 3 x 2 4

Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, A ( x ) é descrita por uma parábola com concavidade voltada pra baixo. Logo, tem um ponto de máximo!

É esse ponto de máximo da área, desescrita em função de um de seus lados (lado x ), que a gente precisa determinar. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar A ( x ) , derivar e igualar a zero! O valor de x que acharmos atribuído a essa derivada nula vai ser o ponto em que a função assume o valor máximo. Em outras palavras, vamos achar o valor de x , um dos lados do retângulo, que nos dá a maior área possível!

Passo 4

Derivando, temos:

A ' x = 6 - 3 x 2

Igualamos isso a zero:

6 - 3 x 2 = 0

3 x 2 = 6

x = 4

Então, esse é o valor de x , lado do retângulo, que vai possibilitar a maior área possível.

Temos x , mas ainda precisamos de y . Calculamos facilmente pela primeira equação!

y = 6 - 3 ∙ 4 4

y = 3

Resposta

São as dimensões x = 4   c m e y = 3   c m .

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