Calcule a integral.

∫ x 2 16 - x 2 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ x 2 16 - x 2 d x

Vamos chamar:

x = 4 sin ⁡ θ

d x = 4 cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 16 sin 2 ⁡ θ ( 4 cos ⁡ θ ) 4 cos ⁡ θ d θ

= 16 ∫ sin 2 ⁡ θ d θ = 8 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

8 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ

= 8 θ - 4 sin ⁡ 2 θ + C

= 8 θ - 8 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + C

Voltando para x :

8 sin - 1 ⁡ x 4 - 8 x 4 16 - x 2 4 + C

= 8 sin - 1 ⁡ x 4 - x 16 - x 2 2 + C

Resposta

8 sin - 1 ⁡ x 4 - x 16 - x 2 2 + C

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