Calcule a integral.

∫ 1 x 2 9 x 2 - 4 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 1 x 2 9 x 2 - 4 d x

Vamos chamar:

x = 2 3 sec ⁡ θ

d x = 2 3 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

2 3 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ 2 3 sec ⁡ θ 2 9 2 3 sec ⁡ θ 2 - 4 d θ

= 2 3 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ 4 9 sec 2 ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ - 4 d θ

= 2 3 ⋅ 9 4 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ ⋅ 2 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

= 3 2 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ ⋅ 2 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

3 4 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ ⋅ tan 2 ⁡ θ d θ

= 3 4 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ

= 3 4 ∫ 1 sec ⁡ θ d θ

= 3 4 ∫ cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

3 4 ∫ cos ⁡ θ d θ

= 3 4 sin ⁡ θ + C

Aí então, voltamos para x :

3 4 9 x 2 - 4 3 x + C

= 9 x 2 - 4 4 x + C

Resposta

9 x 2 - 4 4 x + C

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