Calcule a integral.

∫ - 1 2 1 2 1 - 2 x 2 3 / 2   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Essa aqui espanta um pouco né? Mas fica calmo(a) que vai sair!

A gente vai usar substituição trigonométrica nela.

Vamos fazer x = s e n   u 2 e d x = cos ⁡ u 2 .

Esquece os intervalos por enquanto. Vamos calcular a indefinida primeiro...

∫ 1 - s e n 2 u 3 2 cos ⁡ u 2     d u

Passo 2

Beleza, agora a gente usa a relação trigonométrica:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

1 2 ∫ cos 2 ⁡ u 3 2 cos ⁡ u   d u

1 2 ∫ cos 4 ⁡ u   d u

Ótimo! Aqui a gente pode usar aquelas fórmulas de redução pra calcular, aí vai ficar:

1 2 cos 3 ⁡ u s e n   u + 3 8 u - 3 s e n   4 u 32

Passo 3

Vamos voltar para a variável x agora e aplicar os intervalos...

Já que x = s e n   u 2 , temos u = a r c s e n   2 x :

1 2 cos 3 ⁡ ( a r c s e n   2 x ) s e n   a r c s e n   2 x + 3 8 a r c s e n   2 x - 3 s e n   4   a r c s e n   2 x 32 - 1 2 1 2

(a gente tem q u e   a r c s e n   2 1 2 = a r c s e n   1 = π 2 )

1 2 [ cos 3 ⁡ π 2 s e n π 2 + 3 8 π 2 - 3   s e n   4 π 2 32 - cos 3 ⁡ - π 2   s e n   - π 2 - 3 8 - π 2 + 3 s e n 4 - π 2 32  

= 1 2 3 π 16 + 3 π 16

= 1 2 3 π 8

= 3 π 8 2

Ufaaa! Conseguimos😉

Resposta

3 π 8 2

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