Calcule a integral.

∫ 0 1 2 a r c s e n   x   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos resolver essa por integração por partes.

Você deve estar pensando: mas como vou fazer integração por partes se a gente só tem uma função?

Se liga:

u = a r c s e n   x

d v = d x

Sim, a gente pode fazer isso! Aí a gente vai ter:

d u = 1 1 - x 2 d x       e       v = x

Passo 2

Agora quando a gente monta a relação da integração por partes, a gente fica com:

x   a r c   s e n   x - ∫ x   1 1 - x 2 d x       ( * )

Vamos resolver essa integral aí que sobrou agora:

∫ x 1 - x 2   d x

Aqui a gente vai aplicar uma substituição:

t = 1 - x 2 → d t =   - 2 x   d x → - d t 2 = x   d x

- 1 2 ∫ d t t = - 1 2 2 t =   - t

Passo 3

Vamos voltar pra variável x agora:

-   1 - x 2

Beleza! Substituindo lá em ( * ) agora:

x   a r c s e n   x + 1 - x 2

Agora só falta a gente aplicar os intervalos de integração...

x   a r c s e n   x + 1 - x 2 0 1 2

= 1 2 a r c s e n 1 2 + 1 - 1 4 - 0 - 1

= π 12 + 3 4 - 1

= π 12 - 3 2 - 1

Prontinho! Tá calculado😉

Resposta

π 12 - 3 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados