Calcule a integral.

∫ a + ∞ x x 2 + 1 2   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Espantou com esse aí? Vamos esquecer ele por enquanto então, ok?

Vamos primeiro resolver a integral indefinida. Essa aqui:

∫ x x 2 + 1 2   d x

Bom, aqui é tranquilo, a gente faz uma substituição simples. Vamos fazer:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x → d u 2 = x   d x

Passo 2

Remontando nossa integral, temos:

1 2 ∫ d u u 2

Aí integrando em u :

1 2 - 1 u =   - 1 2 u + C

Agora é só voltar pra x :

- 1 2 x 2 + 1 + C

Integral resolvida, agora vamos para a parte interessante...

Passo 3

Bom, vamos pensar como um intervalo. Seria tipo:

- 1 2 x 2 + 1 a + ∞

Não dá pra fazer isso aqui, mas dá pra fazer isso:

lim b → + ∞ ⁡ - 1 2 x 2 + 1 a b

Show! Vamos resolver isso aí agora:

l i m b → + ∞ - 1 2 b 2 + 1 + 1 2 a 2 + 1

l i m b → + ∞ - 1 2 b 2 + 1 ⏟ 0 + l i m b → + ∞ 1 2 a 2 + 1

= 0 + 1 2 a 2 + 1

= 1 2 a 2 + 1

E prontinho! Conseguimos😉

Resposta

1 2 a 2 + 1

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