Calcule a integral.

∫ 0 + ∞ d x a 2 + b 2 x 2   a ,   b > 0

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Espantou com esse aí? Vamos esquecer ele por enquanto então, ok?

Vamos primeiro resolver a integral indefinida. Essa aqui:

∫ d x a 2 + b 2 x 2

A gente tem um monte de letra aí, mas não esquenta não! Nossa variável é só o x , o resto é constante, a gente trata igual número mesmo!

Vamos pensar nessa integral aí então...

Passo 2

A gente tem uma integral “básica” que é o seguinte:

∫ d u a 2 + u 2 = 1 a ( 1 ) a r c t g   u a + C

(o coeficiente do x vai junto ali denominador de 1 a )

Podemos usar isso na nossa, olha só:

∫ d x a 2 + b x 2

= 1 a b a r c t g   b x a + C

Então nossa integral já tá resolvida! Vamos para a outra parte agora...

Passo 3

Bom, vamos pensar como um intervalo. Seria tipo:

1 a b a r c t g   b x a 0 + ∞

Não dá pra fazer isso aqui, mas dá pra fazer isso:

lim t → + ∞ ⁡ 1 a b a r c t g   b x a 0 t

E aí resolvendo isso...

l i m b → + ∞   1 a b a r c t g   b t a - 1 a b a r c t g   0 a

l i m b → + ∞   1 a b a r c t g   b t a -   l i m b → + ∞ 1 a b   ( 0 )

= 1 a b π 2 - 0

= π 2 a b

Prontinho! Conseguimos😉

Resposta

π 2 a b

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