Calcule a integral definida abaixo:

∫ 3 3   ⁡ 1 3 + t 2     d t

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir x por uma função de u e que resulte em um dx=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

∫ 3 3   ⁡ 1 3 + t 2     d t

t = 3 ( u ) d t = 3   d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

3 = 3 u ⇒ 3 3 = u ⇒ 3 = u

3 = 3 u ⇒ 1 = u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a contasnte do integrando temos:

∫ 3 3   ⁡ 1 3 + t 2     d t =   ∫ 1 3   ⁡ 1 3 + ( 3   u ) 2     d u = 1 3 ∫ 1 3   ⁡ 1 1 + u 2     d u =

Passo 3

Chegamos em uma integral que pode ser resolvida de forma direta, por ser uma primitiva trigonométrica . Assim:

1 3 ∫ 1 3   ⁡ 1 1 + u 2     d u = 1 3     t g - 1 u 3 1

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

1 3     t g - 1 u 3 1 = 1 3 t g - 1 3 - t g - 1 1 = 1 3 π 3 - π 4 = 1 3 π 12 =   π 36

Resposta

π 36

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