Enunciado

Calcule a integral definida abaixo:

int_(sqrt(3))^3 (1)/(3 + t^2) d t

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir x por uma função de u e que resulte em um dx=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

int_(sqrt(3))^3 (1)/(3 + t^2) d t

t = sqrt(3) ( u ) d t = sqrt(3) d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

3 = sqrt(3) (u) => (3)/(sqrt(3)) = u => sqrt(3) = u

sqrt(3) = sqrt(3) (u) => 1 = u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a contasnte do integrando temos:

int_(sqrt(3))^3 (1)/(3 + t^2) d t = int_1^(sqrt(3)) (1)/(3 + ( sqrt(3) u )^2) d u = (1)/(3) int_1^(sqrt(3)) (1)/(1 + u^2) d u =

Passo 3

Chegamos em uma integral que pode ser resolvida de forma direta, por ser uma primitiva trigonométrica . Assim:

(1)/(3) int_1^(sqrt(3)) (1)/(1 + u^2) d u = (1)/(3) (t g^(- 1) (u)) (sqrt(3))/(1)

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(1)/(3) (t g^(- 1) (u)) (sqrt(3))/(1) = (1)/(3) (t g^(- 1) (sqrt(3)) - t g^(- 1) (1)) = (1)/(3) ((pi)/(3) - (pi)/(4)) = (1)/(3) ((pi)/(12)) = (pi)/(36)

Resposta

(pi)/(36)

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