Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 π 2     ⁡ 3 s e n x cos ⁡ ( x ) 1 + 3 s e n 2 x     d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 π 2     ⁡ 3 s e n x cos ⁡ ( x ) 1 + 3 s e n 2 x     d x

u = s e n   ( x )   d u = cos ⁡ x d x  

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 0 π 2     ⁡ 3 s e n x cos ⁡ ( x ) 1 + 3 s e n 2 x     d x = ∫ 0 π 2 3 u 1 + 3 u 2 d u = 3 ∫ 0 π 2 u 1 + 3 u 2 d u

Passo 3

Efetuando uma nova substituição, temos:

v = 1 + 3 u 2

d v = 6 u   d u ⇒ d v 6 = u   d u

3 ∫ 0 π 2 u 1 + 3 u 2 d u = 3 ∫ 0 π 2 1 6 v   d v = 1 2 ∫ 0 π 2 v - 1 2   d

Passo 4

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

1 2 ∫ 0 π 2 v - 1 2   d v = 1 2 v 1 2 1 2 π 2 0

Passo 5

Substituindo u e v pelas funções que atribuímos respectivamente, temos:

1 2 v 1 2 1 2 π 2 0 = 1 2 × 2   1 + 3 u 2   π 2 0 = 1 + 3 s e n 2 x π 2 0

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração . Relembrando que de forma genérica a substituição dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Logo, temos que:

1 + 3 s e n 2 x π 2 0 =     1 + 3 s e n 2 π 2 - 1 + 3 s e n 2 0 = 1 + 3 - 1 = 2 - 1 = 1

Resposta

1

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