Calcule a integral.

∫ 11 x + 17 2 x 2 + 7 x - 4 d x

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

2 x 2 + 7 x - 4 = 2 x - 1 2 x + 4 = 2 x - 1 x + 4

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

11 x + 17 2 x 2 + 7 x - 4 = 11 x + 17 2 x - 1 x + 4 = A 2 x - 1 + B x + 4

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores 2 x - 1 x + 4 :

11 x + 17 = A x + 4 + B 2 x - 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

11 x + 17 = A x + 4 + B 2 x - 1

11 x + 17 = A x + 4 A + 2 B x - B

11 x + 17 = x A + 2 B + 4 A - B

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + 2 B = 11 4 A - B = 17

Isolando A na primeira temos:

A = 11 - 2 B

Agora substituindo isso na segunda temos:

4 A - B = 17 → 4 11 - 2 B - B = 17 → 44 - 8 B - B = 17 → - 9 B = 17 - 44 →

→ - 9 B = - 27 → B = 3

Temos então que o valor de A é:

A = 11 - 2 B = 11 - 2 ⋅ 3 = 11 - 6 = 5

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 11 x + 17 2 x 2 + 7 x - 4 d x = ∫ 5 2 x - 1 + 3 x + 4 d x = ∫ 5 2 x - 1 d x + ∫ 3 x + 4 d x =

= 5 ∫ 1 2 x - 1 d x + 3 ∫ 1 x + 4 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = 2 x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 - 0   d x = 2 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

5 ∫ 1 2 x - 1 d x = 5 ∫ 1 2 u d u = 5 2 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

5 2 ∫ 1 u d u = 5 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 4

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

3 ∫ 1 x + 4 d x = 3 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

3 ∫ 1 v d v = 3 ln ⁡ v + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ 11 x + 17 2 x 2 + 7 x - 4 d x = 5 ∫ 1 2 x - 1 d x + 3 ∫ 1 x + 4 d x = 5 2 ln ⁡ u + 3 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 11 x + 17 2 x 2 + 7 x - 4 d x = 5 2 ln ⁡ u + 3 ln ⁡ v + C = 5 2 ln ⁡ 2 x - 1 + 3 ln ⁡ x + 4   + C

Resposta

∫ 11 x + 17 2 x 2 + 7 x - 4 d x = 5 2 ln ⁡ 2 x - 1 + 3 ln ⁡ x + 4   + C

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