Calcule a integral.

∫ x 2 - 8 x + 3 d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x 2 - 8 = x + 3 x - 3 + 1 → x 2 - 8 x + 3 = x + 3 x - 3 x + 3 + 1 x + 3 →

→ x 2 - 8 x + 3 = x - 3 + 1 x + 3

Temos então que a integral fica:

∫ x 2 - 8 x + 3 d x = ∫ x - 3 + 1 x + 3 d x = ∫ x d x + ∫ - 3 d x + ∫ 1 x + 3 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

∫ x d x = x 1 + 1 1 + 1 + C = x 2 2 + C

Passo 3

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c d x = c x + C

Aplicando:

∫ - 3 d u = - 3 x + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x + 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x + 3 d x = ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 v d v =   ln ⁡ v + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ x 2 - 8 x + 3 d x = ∫ x d x + ∫ - 3 d x + ∫ 1 x + 3 d x = x 2 2 - 3 x + ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 - 8 x + 3 d x = x 2 2 - 3 x + ln ⁡ v + C = x 2 2 - 3 x + ln ⁡ x + 3 + C

Resposta

∫ x 2 - 8 x + 3 d x = x 2 2 - 3 x + ln ⁡ x + 3 + C

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