Enunciado

Calcule a integral.

int (x^2 - 8)/(x + 3) d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x^2 - 8 = (x + 3) (x - 3) + 1 -> (x^2 - 8)/(x + 3) = ((x + 3) (x - 3))/(x + 3) + (1)/(x + 3) ->

-> (x^2 - 8)/(x + 3) = x - 3 + (1)/(x + 3)

Temos então que a integral fica:

int (x^2 - 8)/(x + 3) d x = int x - 3 + (1)/(x + 3) d x = int x d x + int - 3 d x + int (1)/(x + 3) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Aplicando:

int x d x = (x^(1 + 1))/(1 + 1) + C = (x^2)/(2) + C

Passo 3

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c d x = c x + C

Aplicando:

int - 3 d u = - 3 x + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x + 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x + 3) d x = int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(v) d v = ln |v| + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (x^2 - 8)/(x + 3) d x = int x d x + int - 3 d x + int (1)/(x + 3) d x = (x^2)/(2) - 3 x + ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^2 - 8)/(x + 3) d x = (x^2)/(2) - 3 x + ln |v| + C = (x^2)/(2) - 3 x + ln |x + 3| + C

Resposta

int (x^2 - 8)/(x + 3) d x = (x^2)/(2) - 3 x + ln |x + 3| + C

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