Enunciado

Calcule a integral.

int (x^2 + 1)/(x - 1) d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x^2 + 1 = (x - 1) (x + 1) + 2 -> (x^2 + 1)/(x - 1) = ((x - 1) (x + 1))/(x - 1) + (2)/(x - 1) ->

-> (x^2 + 1)/(x - 1) = x + 1 + (2)/(x - 1)

Temos então que a integral fica:

int (x^2 + 1)/(x - 1) d x = int x + 1 + (2)/(x - 1) d x = int x d x + int 1 d x + int (2)/(x - 1) d x =

= int x d x + int 1 d x + 2 int (1)/(x - 1) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Aplicando:

int x d x = (x^(1 + 1))/(1 + 1) + C = (x^2)/(2) + C

Passo 3

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c d x = c x + C

Aplicando:

int 1 d u = x + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 int (1)/(x - 1) d x = 2 int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

2 int (1)/(v) d v = 2 ln |v| + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (x^2 + 1)/(x - 1) d x = int x d x + int 1 d x + 2 int (1)/(x - 1) d x = (x^2)/(2) + x + 2 ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^2 + 1)/(x - 1) d x = (x^2)/(2) + x + 2 ln |v| + C = (x^2)/(2) + x + 2 ln |x - 1| + C

Resposta

int (x^2 + 1)/(x - 1) d x = (x^2)/(2) + x + 2 ln |x - 1| + C

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∫ d x x 2 - 4
int (d x)/(x^2 ( x + 1 )^2)
int (x^2 + x + 2)/(x^2 - 1) d x