Enunciado

Calcule a integral.

int (d x)/(x^2 - 6 x - 7)

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x^2 - 6 x - 7 = (x + 1) (x - 7)

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(1)/(x^2 - 6 x - 7) = (1)/((x + 1) (x - 7)) = (A)/(x + 1) + (B)/(x - 7)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x + 1) (x - 7) :

1 = A (x - 7) + B (x + 1)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (x - 7) + B (x + 1)

1 = A x - 7 A + B x + B

1 = x (A + B) + (- 7 A + B)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0],[- 7 A + B = 1]])

Isolando A na primeira temos:

A = - B

Agora substituindo isso na segunda temos:

- 7 A + B = 1 -> - 7 (- B) + B = 1 -> 7 B + B = 1 -> B = (1)/(8)

Temos então que o valor de A é:

A = - B = - (1)/(8)

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (d x)/(x^2 - 6 x - 7) = int (- (1)/(8))/(x + 1) + ((1)/(8))/(x - 7) d x = int (- 1)/(8 (x + 1)) + (1)/(8 (x - 7)) d x =

= int (- 1)/(8 (x + 1)) d x + int (1)/(8 (x - 7)) d x = - (1)/(8) int (1)/(x + 1) d x + (1)/(8) int (1)/(x - 7) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- (1)/(8) int (1)/(x + 1) d u = - (1)/(8) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(8) int (1)/(u) d u = - (1)/(8) ln |u| + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 7

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(8) int (1)/(x - 7) d x = (1)/(8) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(8) int (1)/(v) d v = (1)/(8) ln |v| + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (d x)/(x^2 - 6 x - 7) = - (1)/(8) int (1)/(x + 1) d x + (1)/(8) int (1)/(x - 7) d x = - (1)/(8) ln |u| + (1)/(8) ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (d x)/(x^2 - 6 x - 7) = - (1)/(8) ln |u| + (1)/(8) ln |v| + C = - (1)/(8) ln |x + 1| + (1)/(8) ln |x - 7| + C

Resposta

int (d x)/(x^2 - 3 x - 4) = - (1)/(8) ln |x + 1| + (1)/(8) ln |x - 7| + C

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