Calcule a integral indefinida.

∫ x 2 3 x 2 - 1 2 x - 1 2 d x

Passo 1

Vamos lá, a primeira coisa que a gente pode fazer é tirar a constante 1 3 dali de dentro. Vai ficar assim:

1 3 ∫ x 2 x 2 - 1 6 x - 1 6 d x

Tá, agora a gente pode dividir esses polinômios pra ficar com uma fração própria.

Quando se divide x 2 por x 2 - 1 6 x - 1 6 , a gente encontra 1 e resto 1 6 x + 1 6 , então a gente pode reescrever a integral como:

1 3 ∫ 1 + 1 6 x + 1 6 x 2 - 1 6 x - 1 6   d x

Passo 2

Vamos separar agora em duas integrais:

1 3   ∫ 1 d x + ∫ 1 6 x + 1 6 x 2 - 1 6 x - 1 6

A primeira vai dar x então vamos ver a segunda integral que é mais feia... A gente pode fatorar assim:

∫ 1 6 ( x + 1 ) 1 6 ( 3 x + 1 ) ( 2 x - 1 ) d x

Como as raízes aqui são 1 3 e - 1 2 ,   vamos usar frações parciais assim:

1 6 ∫ A x - 1 2 + B x + 1 3   d x

Passo 3

Igualando as duas, encontramos A = 9 5 e B =   - 4 5 .

Aí a gente resolve a integral agora como:

1 6 ∫ 9 / 5 x - 1 / 2 + - 4 / 5 x + 1 / 3 d x

Aí resolvendo, temos:

1 6 9 5 ln ⁡ x - 1 2 + 1 6 - 4 5 ln ⁡ x + 1 3

3 10 ln ⁡ x - 1 2 - 2 15 ln ⁡ x + 1 3

Isso! Agora é só juntar com a outra que a gente tinha😊

Passo 4

Vai ficar:

1 3 x + 3 10 ln ⁡ x - 1 2 - 2 15 ln ⁡ x + 1 3

1 3 x + 1 10 ln ⁡ x - 1 2 - 2 45 ln ⁡ x + 1 3 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

1 3 x + 1 10 ln ⁡ x - 1 2 - 2 45 ln ⁡ x + 1 3 + C

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