Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (2 x^3)/(x^2 + x) d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (2 x^3)/(x^2 + x) d x = int (2 x^3)/(x (x + 1)) d x = 2 int (x^2)/(x + 1) d x

Vamos fazer a divisão dos polinômios da expressão:

Assim temos:

x^2 = (x + 1) (x - 1) + 1 -> (x^2)/(x + 1) = ((x + 1) (x - 1))/(x + 1) + (1)/(x + 1) ->

-> (x^2)/(x + 1) = x - 1 + (1)/(x + 1)

Vamos substituir na integral:

2 int (x^2)/(x + 1) d x = 2 int x - 1 + (1)/(x + 1) d x = 2 (int x d x + int - 1 d x + int (1)/(x + 1) d x)

Passo 2

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Com a primeira para achar as primitivas da função vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int x d x = (x^(1 + 1))/(1 + 1) + C = (x^2)/(2) + C

Passo 3

Com a segunda vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Assim:

int - 1 d x = - x + C

Passo 4

E com a terceira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x + 1) d x d x = int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

2 (int x d x + int - 1 d x + int (1)/(x + 1) d x) = 2 ((x^2)/(2) - x + ln |u|) + C = x^2 - 2 x + 2 ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (2 x^3)/(x^2 + x) d x = x^2 - 2 x + 2 ln |u| + C = x^2 - 2 x + 2 ln |x + 1| + C

Resposta

int (2 x^3)/(x^2 + x) d x = x^2 - 2 x + 2 ln |x + 1| + C

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