Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (3 x - 1)/(x^2 - x + 1) d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (3 x - 1)/(x^2 - x + 1) d x = int (3 x)/(x^2 - x + 1) d x + int (- 1)/(x^2 - x + 1) d x =

= int (3 x)/(x^2 - x + 1) d x - int (1)/(x^2 - x + 1) d x = (3)/(2) int (2 x - 1 + 1)/(x^2 - x + 1) d x - int (1)/(x^2 - x + 1) d x =

= (3)/(2) int (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) d x + (3)/(2) int (1)/(x^2 - x + 1) d x - int (1)/(x^2 - x + 1) d x =

= (3)/(2) int (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) d x + (1)/(2) int (1)/(x^2 - x + 1) d x

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

s = x^2 - x + 1

Vamos agora achar diferencial de s , derivando:

d s = 2 x - 1 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(3)/(2) int (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) d x = (3)/(2) int (1)/(s) d s

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(3)/(2) int (1)/(s) d s = (3)/(2) ln |s| + C

Passo 3

Já com a segunda vamos completar quadrado:

(1)/(2) int (1)/(x^2 - x + 1) d x = (1)/(2) int (1)/((x - (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

r = x - (1)/(2)

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(2) int (1)/((x - (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x = (1)/(2) int (1)/(r^2 + (3)/(4)) d r = (1)/(2) int (4)/(4 (r^2 + (3)/(4))) d r = (1)/(2) int (4)/(4 r^2 + 3) d r =

= 2 int (1)/(4 r^2 + 3) d r

Passo 4

Vamos usar outra Substituição:

r = (sqrt(3))/(2) u

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = (sqrt(3))/(2) d u

Fazendo a substituição ficamos com:

2 int (1)/(4 r^2 + 3) d r = 2 * (sqrt(3))/(2) int (1)/(4 ((3 u^2)/(4)) + 3) d u = sqrt(3) int (1)/(3 u^2 + 3) d u = 3 sqrt(3) int (1)/(u^2 + 1) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctg x + C

Aplicando:

3 sqrt(3) int (1)/(u^2 + 1) d u = 3 sqrt(3) arctg u + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

(3)/(2) int (2 x - 1)/(x^2 - x + 1) d x + (1)/(2) int (1)/(x^2 - x + 1) d x = (3)/(2) ln |s| + 3 sqrt(3) arctg u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (3 x - 1)/(x^2 - x + 1) d x = (3)/(2) ln |s| + 3 sqrt(3) arctg u + C = (3)/(2) ln |x^2 - x + 1| + 3 sqrt(3) arctg ((2 r)/(sqrt(3))) + C =

= (3)/(2) ln |x^2 - x + 1| + 3 sqrt(3) arctg ((2 (x - (1)/(2)))/(sqrt(3))) + C =

= (3)/(2) ln |x^2 - x + 1| + 3 sqrt(3) arctg ((2 x - 2)/(sqrt(3))) + C

Resposta

int (3 x - 1)/(x^2 - x + 1) d x = (3)/(2) ln |x^2 - x + 1| + 3 sqrt(3) arctg ((2 x - 2)/(sqrt(3))) + C

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