Calcule a integral.

∫ 1 1 + 2 x 2 + x 4 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 1 1 + 2 x 2 + x 4 d x

= ∫ 1 x 2 + 1 2 d x

Vamos chamar:

x = tan ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + 1 2 d θ

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 2 d θ

= ∫ sec 2 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ

= ∫ 1 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ

Agora outra identidade trigonométrica:

= ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

= 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 2 θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ + C

= θ 2 + sin ⁡ 2 θ 4 + C

Outra identidade trigonométrica:

θ 2 + sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + C

Aí então, voltamos para x :

arctan ⁡ x 2 + 1 2 x x 2 + 1   1 x 2 + 1 + C

= arctan ⁡ x 2 + x 2 x 2 + 1 + C

Resposta

arctan ⁡ x 2 + x 2 x 2 + 1 + C

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