Calcule a integral.

∫ e x 1 - e 2 x   d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ e x 1 - e 2 x   d x

= ∫ 1 - e x 2   e x   d x

Vamos chamar:

e x = sin ⁡ θ

e x d x = cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 1 - sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ d θ

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

= ∫ cos 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ d θ

= ∫ cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ d θ

= ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Usando outra identidade trigonométrica:

∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= ∫ 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 2 θ + sin ⁡ 2 θ 2 + C

= θ 2 + sin ⁡ 2 θ 4 + C

= θ 2 + 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 + C

= θ 2 + sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + C

Aí então, voltamos para x :

arcsin ⁡ e x 2 + e x ⋅ 1 - e 2 x 2 + C

= arcsin ⁡ e x + e x ⋅ 1 - e 2 x 2 + C

Resposta

arcsin ⁡ e x + e x ⋅ 1 - e 2 x 2 + C

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