Calcule a integral.

∫ d x x 2 + 16 d x

Passo 1

Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver esse problema.

Aqui vamos resolver essa integral indefinida. Para isso vamos utilizar de uma substituição trigonométrica, e a tabela abaixo eu creio que irá te ajudar.

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

Passo 2

A gente tem que x = 4 tg ⁡ θ , e θ varia no seguinte intervalo: - π 2 ≤ θ ≤ π 2 .

Assim, se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = 4 sec 2 ⁡ θ d θ .

Agora, achando o valor do nosso cateto x 2 + 16 por meio da substituição de x , temos:

x 2 + 16

= 4 tg ⁡ θ 2 + 16

= 16 tg 2 ⁡ θ + 16

= 16 tg 2 ⁡ θ - 1

= 16 sec 2 ⁡ θ

= 4 sec ⁡ θ

= 4 sec ⁡ θ

para os valores relevantes de θ .

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

∫ d x x 2 + 16 d x = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ d θ 4 sec ⁡ θ

= ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ | sec ⁡ θ + tg ⁡ θ | + C 1

Agora voltando para a variável original:

ln ⁡ x 2 + 16 4 + x 4 + C 1

= ln ⁡ x 2 + 16 + x - ln ⁡ 4 + C 1

= ln ⁡ ( x 2 + 16 + x ) + C

Onde C = C 1 - ln ⁡ 4 .

Como x 2 + 16 + x > 0 , nós não precisamos do valor absoluto.

Resposta

ln ⁡ ( x 2 + 16 + x ) + C .

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