Calcule a integral

∫ t 5 t 2 + 2 d t

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

t = 2 tan ⁡ θ

Se diferenciarmos, ficamos com

d t = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

Passo 2

∫ t 5 t 2 + 2 d t = ∫ 2 tan ⁡ θ 5 2 tan ⁡ θ 2 + 2 ⋅ 2 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 4 2 tan 5 ⁡ θ 2 tan 2 ⁡ θ + 2 2 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 4 2 tan 5 ⁡ θ 2 tan 2 ⁡ θ + 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ ( θ ) ?!

Vamos usá-la, então, substituindo

∫ 4 2 tan 5 ⁡ θ 2 tan 2 ⁡ θ + 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 2 tan 5 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Retirando da raiz

= ∫ 4 2 tan 5 ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ

= 4 2 ∫ tan 5 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 4 2 ∫ tan 4 ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= 4 2 ∫ tan 2 ⁡ θ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= 4 2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 3

Vamos resolver a integral pelo método da substituição.

Seja u = sec ⁡ θ , temos que d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ . Substituindo, ficamos com

4 2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 4 2 ∫ u 2 - 1 2 d u

= 4 2 ∫ u 4 - 2 u 2 + 1 d u

= 4 2 1 5 u 5 - 2 3 u 3 + u + c

= 4 2 15 u 3 u 4 - 10 u 2 + 15 + c

= 4 2 15 sec ⁡ θ 3 sec 4 ⁡ θ - 10 sec 2 ⁡ θ + 15 + c

Agora precisamos voltar para a variável original.

Se lembra que dizemos que:

t = 2 tan ⁡ θ

E

t 2 + 2 = 2 sec ⁡ θ

Lembra?! Então, podemos encontrar uma expressão para a sec ⁡ θ

sec ⁡ θ = t 2 + 2 2

Passo 4

Agora, que encontramos uma epressão para a sec ⁡ θ podemos substituir

4 2 15 sec ⁡ θ 3 sec 4 ⁡ θ - 10 sec 2 ⁡ θ + 15 + c =

= 4 2 15 ⋅ t 2 + 2 2 3 ⋅ t 2 + 2 2 2 2 - 10 ⋅ t 2 + 2 2 + 15 + c

= 4 15 t 2 + 2 3 4 t 2 + 2 2 - 5 t 2 + 2 + 15 + c

Resposta

∫ t 5 t 2 + 2 d t = 4 15 t 2 + 2 3 4 t 2 + 2 2 - 5 t 2 + 2 + 15 + c

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